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已知点P_n（a_n，b_n）（n∈N）满足a_n+1=a_nb_n+1，b_n+1= $数学公式$ ，且点P₁的坐标为（1，-1）．
（Ⅰ）求经过点P₁，P₂的直线l的方程；
（Ⅱ）已知点P_n（a_n，b_n）（n∈N）在P₁，P₂两点确定的直线l上，求数列{a_n}通项公式．
（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，求对于所有n∈N，能使不等式（1+a₁）（1+a₂）…（1+a_n）≥k $数学公式$ 成立的最大实数k的值．

解：（Ⅰ）因为 $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，所以a₂=a₁b₂= $\text{[math]}$ ．所以P₂（ $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ）．
所以过点P₁，P₂的直线l的方程为 2x+y=1．
（Ⅱ）∵已知点P_n（a_n，b_n）（n∈N）在P₁，P₂两点确定的直线l上，
∴2a_n+b_n=1．
由a_n+1=a_nb_n+1可得 a_n+1=a_n（1-2a_n+1），
∴ $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，即 $\text{[math]}$ - $\text{[math]}$ =2，故{ $\text{[math]}$ }是公差等于2的等差数列．
所以 $\text{[math]}$ =1+2（n-1）=2n-1，所以a_n= $\text{[math]}$ ．
（Ⅲ）由上可得 b_n=1-2a_n= $\text{[math]}$ ．依题意 k≤（1+a₁）（1+a₂）（1+a₃）…（1+a_n） $\text{[math]}$ 恒成立．
设F（n）=（1+a₁）（1+a₂）（1+a₃）…（1+a_n） $\text{[math]}$ ，所以只需求满足 k≤F（n）的F（n）的最小值．
∵ $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ =（1+a_n+1） $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ＞1，
所以F（n）（x∈N^*）为增函数．
所以F（n）_min=F（1）= $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ．
所以 k≤ $\text{[math]}$ ．
所以k_max= $\text{[math]}$ ．
分析：（Ⅰ）先求出a₂ 和b₂ 的值，即可得到P₂的坐标，用两点式求得过点P₁，P₂的直线l的方程．
（Ⅱ）把已知点P_n的坐标代入直线l的方程可得 2a_n+b_n=1，化简可得 $\text{[math]}$ - $\text{[math]}$ =2，故{ $\text{[math]}$ }是公差等于2的等差数列，由此求得数列{a_n}通项公式．
（Ⅲ）由上可得 b_n=1-2a_n= $\text{[math]}$ ．依题意 k≤（1+a₁）（1+a₂）（1+a₃）…（1+a_n） $\text{[math]}$ 恒成立．设F（n）=（1+a₁）（1+a₂）（1+a₃）…（1+a_n） $\text{[math]}$ ，利用单调性求得F（n）_min=F（1），故 k≤F（1），运算求得结果．
点评：本题主要考查等差关系的确定，数列与不等式的综合，数列的函数特性，函数的恒成立问题，属于难题．

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（理）已知点A（1，0），B（0，1）和互不相同的点P₁，P₂，P₃，…，P_n，…，满足

OPn

=an

+bn

(n∈N*)，O为坐标原点，其中{a_n}、{b_n}分别为等差数列和等比数列，P₁是线段AB的中点，对于给定的公差不为零的a_n，都能找到唯一的一个b_n，使得P₁，P₂，P₃，…，P_n，…，都在一个指数函数

（写出函数的解析式）的图象上．

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已知点集L={（x，y）|y=

•

}，其中

=（2x-b，1），

=（1，b+1），点列P_n（a_n，b_n）（n∈N⁺）在L中，p₁为L与y轴的交点，数列{a_n}是公差为1的等差数列．
（Ⅰ）求数列{b_n}的通项公式；
（Ⅱ）若f（n）=

an，(n为奇数)

bn，(n为偶数)

，令S_n=f（1）+f（2）+f（3）+…+f（n），试写出S_n关于n的表达式；
（Ⅲ）若f（n）=

an，(n为奇数)

bn，(n为偶数)

，给定奇数m（m为常数，m∈N⁺，m＞2）．是否存在k∈N⁺，，使得
f（k+m）=2f（m），若存在，求出k的值；若不存在，请说明理由．

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已知点集L={(x，y)|y=

•

}，其中

=（2x-b，1），

=（1，b+1），点列P_n（a_n，b_n）在L中，P₁为L与y轴的交点，等差数列{a_n}的公差为1，n∈N^*．
（I）求数列{b_n}的通项公式；
（Ⅱ）若f(n)=

an n为正奇数

bn n为正偶数

，令S_n=f（1）+f（2）+f（3）+…+f（n）；试写出S_n关于n的函数解析式；

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已知点集L={(x，y)|y=

•

}，其中

=(2x-b，1)，

=(1，1+b)，又知点列P_n（a_n，b_n）∈L，P₁为L与y轴的交点．等差数列{a_n}的公差为1，n∈N^*．
（Ⅰ）求P_n（a_n，b_n）；
（Ⅱ）若f(n)=

an，n=2k-1

bn，n=2k

k∈N*，f(k+11)=2f(k)，求出k的值；
（Ⅲ）对于数列{b_n}，设S_n是其前n项和，是否存在一个与n无关的常数M，使

S2n

=M，若存在，求出此常数M，若不存在，请说明理由．

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已知点集L={(x，y)|y=

•

}，其中

=(2x-b，1)，

=(1，b+1)，点列P_n（a_n，b_n）在L中，P₁为L与y轴的交点，等差数列{a_n}的公差为1，n∈N₊．
（1）求数列{a_n}，{b_n}的通项公式；
（2）若f(n)=

an(n=2k-1)

bn(n=2k)

(k∈N+)，是否存在k∈N₊使得f（k+11）=2f（k），若存在，求出k的值；若不存在，请说明理由．
（3）求证：

|P1P2|2

|P1P3|2

+…+

|P1Pn|2

＜

（n≥2，n∈N^*）．

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