Question

设函数y=f（x）满足对任意的实数t，都有f（1+t）=-f（1-t），f（t-2）=f（2-t）成立，则下面关于函数y=f（x）的说法：①图象关于点（1，0）对称；②图象关于y轴对称；③以2为周期；④f（2009）=0．其中正确的有

①②④

（将你认为正确说法前面的序号都填上）．

Answer 1

分析：利用函数的基本性质，对称中心，周期，分别对选项验证，判定正误即可．

解答：解：①f（1+t）=-f（1-t）恒成立，则函数y=f（x）的图象关于（1，0）点对称；①正确．
②由f（t-2）=f（2-t）⇒f（x）=f（-x），则函数y=f（x）是偶函数，它的图象关于y轴对称，故②正确．
③若f（1+t）=-f（1-t），且f（1-t）=f（t-1）恒成立，⇒f（1+t）=-f（t-1）⇒f（t+2）=-f（t），从而f（t+4）=-f（t+2）=f（t），则函数y=f（x）以4为周期．③错误．
④∵函数y=f（x）以4为周期，∴f（2009）=f（4×502+1）=f（1），
在f（1+t）=-f（1-t）中令t=0得f（1）=-f（1），∴f（1）=0，
∴f（2009）=0．④正确．
故答案为：①②④．．

点评：本题考查函数图象的对称性，函数的周期性，考查学生灵活运用知识的能力，是基础题．