Question

已知函数f(x)＝－a²x²＋ax＋lnx(a∈R)．

(Ⅰ)我们称使f(x)＝0成立的x为函数的零点．证明：当a＝1时，函数f(x)只有一个零点；

(Ⅱ)若函数f(x)在区间(1，＋∞)上是减函数，求实数a的取值范围．

Answer 1

答案：
解析：

　　解：(Ⅰ)当a＝1时，，其定义域为(0，＋∞)，

　　，令，

　　解得或，又∵x＞0，故x＝1，当0＜x＜1时，；

　　当x＞1时，，∴函数在区间(0，1)上单调递增，在区间(1，＋∞)上单调递减，当x＝1时，

　　函数取得最大值，即，所以函数只有一个零点；(5分)

　　(Ⅱ)因为，其定义域为(0，＋∞)，

　　所以，

　　(1)当a＝0时，，

　　所以在区间(0，＋∞)上为增函数，不合题意．(7分)

　　(2)当a＞0时，等价于，

　　即x＞，此时，的单调减区间为(，＋∞)，依题意，

　　得，解之得．(9分)

　　(3)当a＜0时，等价于，

　　即0＜x＜，此时的单调减区间为(0，)，不合题意．

　　综上所述，实数a的取值范围是．(12分)