（文科）已知n2（n≥4且n∈N*）个正数排成一个n行n列的数阵：
第1列 第2列 第3列 …第n列
第1行 a1，1 a1，2 a1，3 …a1，n
第2行 a2，1 a2，2 a2，3 …a2，n
第3行 a3，1 a3，2 a3，3 …a3，n
…
第n行 an，1 an，2 an，3 …an，n
其中ai，k（i，k∈N*，且1≤i≤n，1≤k≤n）表示该数阵中位于第i行第k列的数，已知该数阵中各行的数依次成等比数列，各列的数依次成公比为2的等比数列，已知a2，3=8，a3，4=20．
（1）求a1，1a2，2；
（2）设An=a1，n+a2，n-1+a3，n-2+…+an，1求证：An+n能被3整除．
【答案】
分析：（1）由题意，a
2，3=8，a
3，4=20，所以a
1，3=3，a
1，4=5，故第1行公差d=1，由此能求出a
1，1和a
2，2．
（2）由a
1，n=n+1，a
2，n-1=2n，a
3，n-2=2
2（n-1），…，a
n-1，2=3×2
n-2，a
n，1=2×2
n-1，知A
n=a
1，n+a
2，n-1+a
3，n-2+…+a
n，1=（n+1）+n×2
1+（n-1）×2
2+（n-2）×2
3+…+2×2
n-1，由错位相减法能够求出A
n．由此能够证明A
n+n能被3整除．
解答：解：（1）由题意，a
2，3=8，
a
3，4=20，
所以a
1，3=3，a
1，4=5，
故第1行公差d=1，
所以a
1，1=2，a
1，2=3，
得a
2，2=2a
1，2=6．
（2）同（1）可得，a
1，n=n+1，a
2，n-1
=2n，a
3，n-2
=2
2（n-1），…，a
n-1，2
=3×2
n-2，a
n，1
=2×2
n-1所以A
n=a
1，n+a
2，n-1+a
3，n-2+…+a
n，1
=（n+1）+n×2
1+（n-1）×2
2+（n-2）×2
3+…+2×2
n-12A
n
=（n+1）×2
1+n×2
2+（n-1）×2
3+…+3×2
n-1+2×2
n
两式相减，得A
n=-（n+1）+2
1+2
2+2
3+…+2
n-1+2×2
n
=
=-（n+1）+2
n-2+2×2
n
=3×2
n-3-n
所以A
n-n=3×（2
n-1），
故A
n+n能被3整除．
点评：本题考查数列的综合运用，综合性强，难度较大，容易出错．解题时要认真审题，注意寻找规律，合理地进行等价转化．
