Question

已知函数f（x）对于x＞0有意义，且满足条件f（2）=1，f（xy）=f（x）+f（y），f（x）是非减函数．
（1）证明f（1）=0；
（2）若f（x）+f（x-2）≥2成立，求x的取值范围．

Answer 1

解：（1）令x=2，y=1，则f（2×1）=f（2）+f（1），得f（1）=0．
（2）由f（x）+f（x-2）=f（x²-2x）≥2，
而2=1+1=f（2）+f（2）=f（4），得f（x²-2x）≥f（4）．
又∵f（x）为非减的函数，∴x²-2x≥4，即x²-2x-4≥0，
解得x≥1+或x≤1-．
又因为f（x）对x＞0有意义，故x．＞0且x-2＞0，即x＞2．
由以上知所求x的范围为x≥1+．
分析：（1）令x=2，y=1，并代入f（xy）=f（x）+f（y），即可求出f（1）的值；
（2）令x=2，y=2，代入求得f（4），根据f（x）是非减函数和根据已知条件把f（x）+f（x-2）≥2化为f（x²-2x）≥f（4）．根据单调性及函数单调性的定义，去掉对应法则f，解不等式．
点评：此题是个中档题题，考查抽象函数及其应用，以及利用函数单调性的定义解函数值不等式，体现了转化的思想，在转化过程中一定注意函数的定义域．解决抽象函数的问题一般应用赋值法．