Question

设定点M（-2，4），动点N在圆x²+y²=4上运动，线段MN的中点为点P．
（1）求MN的中点P的轨迹方程；
（2）直线l与点P的轨迹相切，且l在x轴．y轴上的截距相等，求直线l的方程．

Answer 1

分析：（1）利用中点坐标公式，确定P，N坐标之间的关系，利用动点N在圆x²+y²=4上运动，即可求MN的中点P的轨迹方程；
（2）分类讨论，利用圆心到直线的距离等于半径，即可求直线l的方程．

解答：解：（1）设P点坐标为（x，y），N（x₀，y₀），则由中点坐标公式有

x0=2x+2 y0=2y-4

∵动点N在圆x²+y²=4上运动，
∴（2x+2）²+（2y-4）²=4
∴（x+1）²+（y-2）²=1；
（2）l在x轴．y轴上的截距相等且为0时，设方程为y=kx，即kx-y=0
∵直线l与点P的轨迹相切，∴

|-k-2|

k2+1

=1，∴k=-

3

4

l在x轴．y轴上的截距相等且不为0时，设方程为

x

a

+

y

a

=1，即x+y-a=0
∵直线l与点P的轨迹相切，∴

|-1+2-a|

2

=1，∴a=1±

2

综上可知，直线l的方程为3x+4y=0或x+y-（1±

2

）=0．

点评：本题考查轨迹方程，考查直线与圆的位置关系，考查代入法的运用，考查学生的计算能力，属于中档题．