Question

3．若0＜a＜1＜b，比较log_ab与log_ba的大小．

Answer 1

分析 由0＜a＜1＜b，得log_ab＜0，log_ba＜0，再分a＞$\frac{1}{b}$，a=$\frac{1}{b}$，a＜$\frac{1}{b}$三种情况分类讨论，由此能判断出log_ab与log_ba的大小关系．

解答 解：∵0＜a＜1＜b，
∴log_ab＜0，log_ba＜0，
①当a$＞\frac{1}{b}={b}^{-1}$时，两边取以a为底的对数，得：
$lo{g}_{a}a＜lo{g}_{a}{b}^{-1}$，∴1＜-log_ab，∴log_ab＜-1，
两边取以b为底的对数，得：
$lo{g}_{b}a＞lo{g}_{b}{b}^{-1}=-1$，
∴log_ba＞-1＞log_ab．
②当a=$\frac{1}{b}={b}^{-1}$时，$lo{g}_{a}b=lo{g}_{a}{a}^{-1}=-1$，
$lo{g}_{b}a=lo{g}_{b}{b}^{-1}$=-1，
∴log_ab=log_ba=-1．
③当$a＜\frac{1}{b}={b}^{-1}$时，两边以a为底的对数，得：
$lo{g}_{a}a＞lo{g}_{a}{b}^{-1}$，∴1＞-log_ab，∴log_ab＞-1，
两边取以b为底的对数，得：
$lo{g}_{b}a＜lo{g}_{b}{b}^{-1}=-1$，
∴log_ba＜-1＜log_ab．
综上，$\left\{\begin{array}{l}{lo{g}_{a}b＜lo{g}_{b}a，a＞\frac{1}{b}}\\{lo{g}_{a}b=lo{g}_{b}a，a=\frac{1}{b}}\\{lo{g}_{a}b＞lo{g}_{b}a，a＜\frac{1}{b}}\end{array}\right.$．

点评 本题考查对数值大小的比较，解题时要注意分类讨论思想的合理运用，是基础题．