Question

已知曲线C：xy-4x+4=0，数列{a_n}的首项a₁=4，且当n≥2时，点（a_n-1，a_n）恒在曲线C上，数列{b_n}满足bn=

1

2-an

．
（1）试判断数列{b_n}是否是等差数列？并说明理由；
（2）求数列{a_n}和{b_n}的通项公式；
（3）设数列{c_n}满足a_nb_n²c_n=1，试比较数列{c_n}的前n项和S_n与2的大小．

Answer 1

分析：本题以点（a_n-1，a_n）恒在曲线C：xy-4x+4=0上为情景，考查等差数列的证明、求数列的通项公式、求数列的前n项和等数列知识和研究方法；
（1）根据点（a_n-1，a_n）在曲线C上，将其代入方程可得：a_n-1a_n-4a_n-1+4=0，由bn=

1

2-an

相邻两项作差得到-

1

2

，所以数列{b_n}是等差数列
（2）由（1）知数列{b_n}是等差数列，首项和公差易得，所以数列{b_n}的通项公式可求，再根据两个数列的关系bn=

1

2-an

，数列{a_n}的通项公式可直接获得；
（3）根据数列{c_n}满足a_nb_n²c_n=1，由（2）可得数列{c_n}的通项公式，前n项和可由“裂项法”求得，与2的大小比较易得．

解答：解：（1）∵当n≥2时，点（a_n-1，a_n）恒在曲线C上
∴a_n-1a_n-4a_n-1+4=0（1分）
由bn=

1

2-an

得
当n≥2时，bn-bn-1=

1

2-an

-

1

2-an-1

=

an-an-1

4-2an-1-2an+anan-1

=

an-an-1

4-2an-1-2an+4an-1-4

=

an-an-1

-2an+2an-1

=-

1

2

（4分）
∴数列{b_n}是公差为-

1

2

的等差数列；（5分）
（2）∵a₁=4，∴b1=

1

2-a1

=-

1

2

∴bn=-

1

2

+(n-1)×(-

1

2

)=-

1

2

n（7分）
由bn=

1

2-an

得an=2-

1

bn

=2+

2

n

（9分）
（3）∵a_nb_n²c_n=1
∴cn=

1

an b 2 n

=

2

n(n+1)

=2(

1

n

-

1

n+1

)（10分）
∴S_n=c₁+c₂++c_n=2[(1-

1

2

)+(

1

2

-

1

3

)++(

1

n

-

1

n+1

)]
=2(1-

1

n+1

)＜2．（12分）

点评：本题综合性强，知识联系广泛，涉及了数列的证明、通项公式、求和公式等，但解题思路清晰、方向明确；
注意在数列{b_n}是否是等差数列的判断时，运用b_n-b_n-1容易进行判断，在（3）得到S_n=c₁+c₂++c_n=2[(1-

1

2

)+(

1

2

-

1

3

)++(

1

n

-

1

n+1

)]=

2n

n+1

后，会变形为2(1-

1

n+1

)＜2易得．