Question

已知a∈R，
命题p：实系数一元二次方程x²+ax+2=0无实根；
命题q：存在点（x，y）同时满足x²+y²=4且（x+a）²+y²=1．
试判断：命题p是命题q的什么条件（充分、必要、充分不必要、必要不充分、充要或既不充分也不必要条件）？请说明你的理由．

Answer 1

分析：若命题p为真，由△＜0可求得a的范围；若命题q为真，由二圆的图象可求得a的范围，从而可得集合A，B，可判断命题p是命题q的什么条件．

解答：解：若命题p为真，可得△=a²-8＜0⇒a∈（-2

2

，2

2

）（4分）
若命题q为真，由图可知圆x²+y²=4和圆（x+a）²+y²=1有交点，

a∈[-3，-1]∪[1，3]，
若令集合A=（-2

2

，2

2

），集合B=[-3，-1]∪[1，3]，（9分）
可知集合A和集合B之间互不包含，于是命题p是命题q的既不充分也不必要条件．（12分）

点评：本题考查必要条件、充分条件与充要条件的判断，求得命题p与命题q正确时对应的a的范围构成集合是判断的关键，属于中档题．