Question

已知a为实数，函数f（x）=（x²+1）（x+a）．
（1）若函数f（x）的图象上有与x轴平行的切线，求a的取值范围．
（2）若f′（-1）=0，求函数y=f（x）在上的最大值和最小值．

Answer 1

解：（1）f′（x）=2x（x+a）+（x²+1）=3x²+2ax+1，
∵函数f（x）的图象上有与x轴平行的切线，
∴则f′（x）=0有解，
△=（2a）²-4×3≥0，解得a≥或a，
∴a的取值范围是a≥或a；
（2）∵f′（-1）=0，
∴3-2a+1=0，解得a=2，
∴f′（x）=3x²+4x+1=0，
解得x=-1或x=-，
当＜x＜-1时，f′（x）＞0，∴f（x）在（，-1）上单调递增，
当-1＜x＜-时，f′（x）0，∴f（x）在（-1，-）上单调递减，
当-＜x＜1时，f′（x）＞0，∴f（x）在（-，1）上单调递增，
所以当x=-1时，f（x）取极大值2，当x=-时，f（x）取极小值，
而f（）=，f（1）=6，
∴函数y=f（x）在上的最大值和最小值分别为6，．
分析：（1）根据题意，求导，令导数等于另，则此方程有解，利用△≥0即可求得a的取值范围；
（2）把f′（-1）=0，代入f′（x）中，求出a的值，求区间上的单调性和极值，并和端点函数值比较大小，从而确定函数y=f（x）在上的最大值和最小值．
点评：此题是个基础题．考查导数的几何意义和利用导数研究函数在闭区间上的最值问题．体现了数形结合和转化的思想．