某工厂为了提高经济效益,决定花5600千元引进新技术,同时适当进行裁员.已知这家公司现有职工m人,每人每年可创利100千元.据测算,若裁员人数不超过现有人数的20%,则每裁员1人,留岗员工每人每年就能多创利1千元;若裁员人数超过现有人数的20%,则每裁员1人,留岗员工每人每年就能多创利2千元.为保证公司的正常运转,留岗的员工数不得少于现有员工人数的75%.为保障被裁员工的生活,公司要付给被裁员工每人每年20千元的生活费.
(1)若m=400时,要使公司利润至少增加10%,那么公司裁员人数应在什么范围内?
(2)若m=20k,且15<k<50,为了获得最大的经济效益,该公司应裁员多少人?
【答案】
分析:(1)根据已知条件,当m=400时,我们根据若裁员人数超过现有人数的20%,则每裁员1人,留岗员工每人每年就能多创利2千元.为保证公司的正常运转,留岗的员工数不得少于现有员工人数的75%.设该公司应裁员x人,我们分0≤x≤80,80≤x≤100两种情况分析讨论公司所获利润,然后列出公司利润至少增加10%的对应的不等式,解不等式,即可得到公司裁员人数的取值范围.
(2)当m=20k,时,我们根据(1)中的分析,分0≤x≤4k,4k<x≤5k,两种情况分析讨论公司所获利润,然后在构造出公司利润与栽员人数之间的分段函数的解析式,然后在每一段上,分析函数的最值,进而得到合理的裁员方案.
解答:解:设该公司应裁员x人,x∈N
*,所获得利润为y.
(1)m=400时,若0≤x≤80
公司所获利润y=(400-x)(100+x)-20x-5600
要使公司利润至少增加10%那么(400-x)(100+x)-20x-5600≥400×100×(1+10%)x
2-280x+9600≤0又0≤x≤80所以40≤x≤80.
若80≤x≤100公司所获利润y=(400-x)(100+2x)-20x-5600
要使公司利润至少增加10%那么(400-x)(100+2x)-20x-5600≥400×100×(1+10%)x
2-340x+4800≤0它在80≤x≤100时成立
所以40≤x≤100时公司利润至少增加10%.
(2)设公司裁员x人,所获得利润为y千元.则
=
=
设f
1(x)=-(x-(10k-60))
2+2000k-5600+(10k-60)
2,0≤x≤4k,
因为10k-60>150-60=90>4k.所以当x=4k时,函数f
1(x)取最大值为:
f
1(x)
max=64k
2+80k-5600.
设f
2(x)=-2(x-(10k-30))
2+2000k-5600+2(10k-30)
2,4k<x≤5k,
因为10k-30>150-30=120>5k.所以当x=5k时,函数f
2(x)取最大值为:
f
1(x)
max=150k
2+50k-5600.f
2(x)-f
1(x)=86k
2-30k>0.
所以当x=5k时公司可获得最大利润.
点评:函数的实际应用题,我们要经过析题→建模→解模→还原四个过程,在建模时要注意实际情况对自变量x取值范围的限制,解模时也要实际问题实际考虑.将实际的最大(小)化问题,利用函数模型,转化为求函数的最大(小)是最优化问题中,最常见的思路之一.