Question

20．在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，已知AB=AC=AA₁=$\sqrt{5}$，BC=4，A₁在底面ABC的投影是线段BC的中点O．
（1）求点C到平面A₁ABB₁的距离；
（2）求二面角A-BC₁-B₁的余弦值．

Answer 1

分析 （1）连结AO，推导出A₁O⊥BC，AO⊥BC，由${V}_{C-{A}_{1}AB}$=${V}_{{A}_{1}-ABC}$，能求出点C到平面A₁ABB₁的距离．
（2）分别以OA，OB，OA₁所在的直线为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角A-BC₁-B₁的余弦值．

解答 解：（1）连结AO，∵A₁O⊥平面ABC，∴A₁O⊥BC，
∵AB=AC，OB=OC，
∴AO⊥BC，AO=$\sqrt{A{B}^{2}-B{O}^{2}}$=1，
在△AOA₁中，A₁O=$\sqrt{A{{A}_{1}}^{2}-A{O}^{2}}$=2，
在Rt△BOA₁中，A₁B=$\sqrt{{A}_{1}{O}^{2}+B{O}^{2}}$=2$\sqrt{2}$，
则${S}_{△{A}_{1}AD}$=$\sqrt{6}$，又S_△CAD=2，
设点C到平面A₁ABB₁的距离为h，由${V}_{C-{A}_{1}AB}$=${V}_{{A}_{1}-ABC}$，
得$\frac{1}{3}{S}_{△{A}_{1}AB}•h=\frac{1}{3}{S}_{△CAB}•{A}_{1}O$，
解得h=$\frac{2\sqrt{6}}{3}$．
∴点C到平面A₁ABB₁的距离为$\frac{2\sqrt{6}}{3}$．
（2）分别以OA，OB，OA₁所在的直线为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，
则A（1，0，0），C（0，-2，0），A₁（0，0，2），
B（0，2，0），B₁（-1，0，2），C₁（-1，-2，2），
$\overrightarrow{CB}$=（0，4，0），$\overrightarrow{B{B}_{1}}$=（-1，0，2），$\overrightarrow{AB}$=（-1，2，0），$\overrightarrow{A{C}_{1}}$=（-2，-2，2），
设平面BCC₁B₁的法向量$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），
则$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{B{B}_{1}}=-x+2z=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{CB}=4y=0}\end{array}\right.$，取x=2，得$\overrightarrow{n}$=（2，0，1），
设平面ABC₁的法向量$\overrightarrow{m}$=（a，b，c），
则$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{AB}=-a+2b=0}\\{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{A{C}_{1}}=-2a-2b+2c=0}\end{array}\right.$，取a=2，得$\overrightarrow{m}$=（2，1，3），
cos＜$\overrightarrow{m}，\overrightarrow{n}$＞=$\frac{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}}{|\overrightarrow{m}|•|\overrightarrow{n}|}$=$\frac{\sqrt{70}}{10}$，
由图形知二面角A-BC₁-B₁的平面角是钝角，
∴二面角A-BC₁-B₁的余弦值为$\frac{\sqrt{70}}{10}$．

点评 本题考查点到平面的距离的求法，考查二面角的余弦值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．