Question

10．不等式${（\frac{1}{4}）^x}-{（\frac{1}{2}）^x}-m＜0$对任意x∈[-1，2]恒成立，则m的取值范围是m＞2．

Answer 1

分析 把不等式${（\frac{1}{4}）^x}-{（\frac{1}{2}）^x}-m＜0$对任意x∈[-1，2]恒成立，转化为m＞$（\frac{1}{4}）^{x}-（\frac{1}{2}）^{x}$对任意x∈[-1，2]恒成立，换元后求出二次函数的最值得答案．

解答 解：∵不等式${（\frac{1}{4}）^x}-{（\frac{1}{2}）^x}-m＜0$对任意x∈[-1，2]恒成立，
∴m＞$（\frac{1}{4}）^{x}-（\frac{1}{2}）^{x}$对任意x∈[-1，2]恒成立，
令$（\frac{1}{2}）^{x}=t$，t∈[$\frac{1}{4}，2$]．
即m＞t²-t恒成立，
当t=2时，（t²-t）_max=2，
∴m＞2．
故答案为：m＞2．

点评 本题考查函数恒成立问题，考查了分离变量法，训练了二次函数最值的求法，是中档题．