Question

某工厂生产甲、乙两种产品，每种产品都是经过第一和第二工序加工而成，两道工序的加工结果相互独立，每道工序的加工结果均有A、B两个等级.对每种产品，两道工序的加工结果都为A级时，产品为一等品，其余均为二等品.

(Ⅰ)已知甲、乙两种产品每一道工序的加工结果为A级的概率如表1所示，分别求生产出的甲、乙产品为一等品的概率P_甲、P_乙；

表1

(Ⅱ)已知一件产品的利润如表2所示，用ξ、η分别表示一件甲、乙产品的利润，在(Ⅰ)的条件下，求ξ、η的分布列及Eξ、Eη；

表2

(Ⅲ)已知生产一件产品需用的工人数和资金额如表3所示.该工厂有工人40名，可用资金60万元.设x、y分别表示生产甲、乙产品的数量，在(Ⅱ)的条件下，x、y为何值时，z=xEξ+yEη最大?最大值是多少?(解答时须给出图示)

表3

Answer 1

解析：(Ⅰ)P_甲=0.8×0.85=0.68,P_乙=0.75×0.8=0.6.

(Ⅱ)随机变量ξ、η的分布列如下表所示.

ξ	5	2.5
P	0.68	0.32

 

η	2.5	1.5
P	0.6	0.4

Eξ=5×0.68+2.5×0.32=4.2,Eη=2.5×0.6+1.5×0.4=2.1.

(Ⅲ)由题设知

目标函数为z=xE

ξ+yEη=4.2x+2.1y,作出可行域图(如下图).

作直线l：4.2x+2.1y=0,并将l向右上方平移到l₁位置时，直线经过可行域上的点M与

原点距离最大，此时z=4.2x+2.1y可取得最大值.

解方程组

得即当x=4,y=4时，z取得最大值，即z_max=25.2.