Question

已知函数,（ x>0）．

（I）当0<a<b，且f(a)=f(b)时，求证：ab>1；

（II）是否存在实数a，b（a<b），使得函数y=f(x)的定义域、值域都是[a，b]，若存在，则求出a，b的值，若不存在，请说明理由．

（III）若存在实数a，b（a<b），使得函数y=f(x)的定义域为 [a，b]时，值域为 [ma，mb](m≠0),求m的取值范围．

Answer 1

解：（I） ∵x>0，∴

∴f(x)在（0，1）上为减函数，在上是增函数．

由0<a<b，且f(a)=f(b)，

可得 0<a1<b和．

即．

∴2ab=a+b>．

故，即ab>1．

 （II）不存在满足条件的实数a，b．

     若存在满足条件的实数a，b，使得函数y=的定义域、值域都是

[a，b]，则a>0．

    

①   当时，在（0，1）上为减函数．

故     即 

解得  a=b．

故此时不存在适合条件的实数a，b．

②     当时，在上是增函数．

故     即 

此时a，b是方程的根，此方程无实根．

故此时不存在适合条件的实数a，b．

③     当，时，

由于，而，

故此时不存在适合条件的实数a，b．

      综上可知，不存在适合条件的实数a，b．

（III）若存在实数a，b（a<b），使得函数y=f(x)的定义域为[a，b]时，值域为[ma，mb]．

      则a>0，m>0．

①       当时，由于f(x)在（0，1）上是减函数，故．此时刻得,b异号，不符合题意，所以，b不存在．

②       当或时，由（II）知0在值域内，值域不可能是[m，mb]，所以，b不存在．

        故只有．

∵在上是增函数，

     ∴        即 

a，  b是方程的两个根．

即关于x的方程有两个大于1的实根．

设这两个根为，．

则+=，?=．

∴       即 

解得   ．

     故m的取值范围是．