Question

已知{a_n}是一个公差大于0的等差数列，且满足a₃a₆=55，a₂+a₇=16．令bn=

4

a 2 n+1 -1

（n∈N^*），记数列{b_n}的前n项和为T_n，对任意的n∈N^*，不等式T_n＜

m

100

恒成立，则实数m的最小值是

100

．

Answer 1

分析：设出等差数列的首项和公差，由已知a₃a₆=55，a₂+a₇=16，列式求出首项和公差，则等差数列的通项公式可求，代入令bn=

4

a 2 n+1 -1

（n∈N^*）后，利用列项求和求数列{b_n}的前n项和T_n，代入不等式T_n＜

m

100

后可求解实数m的最小值．

解答：解：设等差数列{a_n}的首项为a₁，公差为d，
则由a₃a₆=55，a₂+a₇=16，得：

(a1+2d)(a1+5d)=55 (a1+d)+(a1+6d)=16

，
即

(a1+2d)(a1+5d)=55① 2a1+7d=16             ②

，由②得：a1=

16-7d

2

③
把③代入①得：d²=4，所以d=-2或d=2．
因为{a_n}的公差大于0，所以，d=2，
则a1=

16-7×2

2

=1．
所以，a_n=a₁+（n-1）d=1+2（n-1）=2n-1．
则a_n+1=2（n+1）-1=2n+1．
所以，bn=

4

an+12-1

=

4

(2n+1)2-1

=

4

4n(n+1)

=

1

n(n+1)

=

1

n

-

1

n+1

．
则T_n=b₁+b₂+b₃+…+b_n
=(1-

1

2

)+(

1

2

-

1

3

)+(

1

3

-

1

4

)+…+(

1

n

-

1

n+1

)
=1-

1

n+1

=

n

n+1

．
由T_n＜

m

100

对任意n∈N^*恒成立，
得

n

n+1

＜

m

100

恒成立，
即m＞

100n

n+1

=

100

1+ 1 n

对任意n∈N^*恒成立，
所以，m≥100．
则实数m的最小值为100．
故答案为100．

点评：本题考查了等差数列的通项公式，考查了裂项相消法求数列的前n项和，考查了数列的函数特性，解答此题的关键是，对不等式m＞

100n

n+1

=

100

1+ 1 n

中m取值的分析，此题是中档题．