Question

14．数列{a_n}满足a₁=2，S_n=na_n-n（n-1）
（1）求数列{a_n}的通项公式a_n；
（2）令b_n=$\frac{1}{（n+1）{a}_{n}}$，求数列{b_n}的前n项和T_n．

Answer 1

分析 （1）由已知求出S_n-1=（n-1）a_n-1-（n-1）（n-2），两式相减得a_n=a_n-1+2，则数列{a_n}的通项公式a_n可求；
（2）由a_n=2n，代入b_n=$\frac{1}{（n+1）{a}_{n}}$，得到b_n=$\frac{1}{2n（n+1）}=\frac{1}{2}（\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}）$，进一步可求出T_n．

解答 解：（1）n≥2时，S_n=na_n-n（n-1），
∴S_n-1=（n-1）a_n-1-（n-1）（n-2）．
两式相减得a_n=na_n-（n-1）a_n-1-2（n-1），则（n-1）a_n=（n-1）a_n-1+2（n-1），
∴a_n=a_n-1+2．
∴{a_n}是首项为2，公差为2的等差数列．
∴a_n=2n；
（2）由（1）知a_n=2n，
∴b_n=$\frac{1}{（n+1）{a}_{n}}$=$\frac{1}{2n（n+1）}=\frac{1}{2}（\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}）$．
∴T_n=$\frac{1}{2}（1-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+…+\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}）$=$\frac{1}{2}（1-\frac{1}{n+1}）=\frac{n}{2n+2}$．

点评 本题考查了数列的通项公式以及数列的前n项和，考查了数列递推式，属于中档题．