Question

17．在平面直角坐标系xoy中，抛物线y²=2px（p＞0）的焦点为F，点A（4，m）在抛物线上，且|AF|=5．
（1）求抛物线的标准方程．
（2）是否存在直线l，使l过点（0，1），并与抛物线交于B，C两点，且满足$\overrightarrow{OB}$•$\overrightarrow{OC}$=0？若存在，求出直线l的方程；若不存在，说明理由．

Answer 1

分析 （1）利用点A（4，m）在抛物线上，且|AF|=5，求出p，即可求出抛物线的标准方程；
（2）对“是否存在性”问题，先假设存在，设直线l的方程为x=k（y-1）（k≠0），与抛物线方程联立结合根的判别式求出k的范围，再利用向量垂直求出k值，看它们之间是否矛盾，没有矛盾就存在，否则不存在．

解答 解：（1）∵点A（4，m）在抛物线上，且|AF|=5，
∴4+$\frac{p}{2}$=5，
∴p=2，
∴抛物线的标准方程为y²=4x；
（2）由题可设直线l的方程为x=k（y-1）（k≠0），
代入抛物线方程得y²-4ky+4k=0；△=16k²-16k＞0⇒k＜0ork＞1，
设B（x₁，y₁），C（x₂，y₂），则y₁+y₂=4k，y₁y₂=4k，
由$\overrightarrow{OB}$•$\overrightarrow{OC}$=0，即x₁x₂+y₁y₂=0⇒（k²+1）y₁y₂-k²（y₁+y₂）+k²=0，
解得k=-4或k=0（舍去），
∴直线l存在，其方程为x+4y-4=0．

点评 本小题主要考查曲线与方程，直线和抛物线等基础知识，以及求解存在性问题的基本技能和综合运用数学知识解决问题的能力．