Question

两异面直线a，b成80°角，过空间任意一点P作直线l，使其与两直线a，b成等角50°，则这样的直线l有

3

条．

Answer 1

分析：根据已知中异面直线a与b所成的角为80°，设O为空间一点，过O分别作OA∥a，OB∥b，则OA，OB成80°角．过O点作出直线OA，OB相交所成角的两条角平分线，满足题意的直线或为两平分线或其射影为两平分线，由此确定直线条数．

解答：解：首先给出两个性质①与一个角∠AOB的两边成等角的直线在面AOB内的射影是∠AOB的平分线．
②若∠AOC所在平面与∠BOC所在平面垂直，则有cos∠AOCcos∠BOC=cos∠AOB．
在空间任取一点O，作OA∥a，OB∥b，则OA，OB成80°角，不妨设∠AOB=80°，如图

（1）直线l₁为∠AOB的补角∠A′OB=100°的平分线，此时l₁与两直线 OA，OB成等角50°，从而l₁与两直线a，b成等角50°，若把直线l₁绕O在垂直于面A′OB 的平面内旋转时，设
l₁与面A′OB所成的角为θ，由性质②cosθcos50°=cos50°，θ=0°，与旋转前l₁重合． 即此时只有一条直线满足题意．
 （2）直线l₂为∠AOB的平分线，显然l₂与两直线 OA，OB成等角40°，若把直线l₂绕O在垂直于面AOB 的平面内旋转时，设l₂与面AOB所成的角为θ，由性质②cosθcos40°=cos50°，
移向得出cosθ=

cos50°

cos40°

＜1．存在θ，根据对称性，在面AOB两侧各有一条．即此时共有两条直线满足题意．
综上所述这样的直线l有3条．
故答案为：3．

点评：本题考查异面直线所成的角，以及解决异面直线所成的角的方法（平移法）的应用，体现了转化的思想和运动变化的思想方法． 本题利用定量的方法进行问题解决，当改变题干中两个角的度数大小时，此法照样使用．