Question

已知椭圆=1的左、右顶点分别为A、B，曲线E是以椭圆中心为顶点，B为焦点的抛物线．
（Ⅰ）求曲线E的方程；
（Ⅱ）直线l：y=（x-2）与曲线E交于不同的两点M、N，当•≥68时，求直线l的倾斜角θ的取值范围．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）依题意可求A，B进而可求抛物线E的方程
（Ⅱ）联立方程得：kx²-（4k+16）x+4k=0，根据方程有两个不等的根，结合韦达定理可得k的范围，进而可求θ的范围
解答：解：（Ⅰ）依题意得：A（-4，0），B（4，0）
∴曲线E的方程为y²=16x．-------（2分）
（Ⅱ）由得：kx²-（4k+16）x+4k=0
由
解得：k＞0----------（4分）
设设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），则：
x1+x2=，x1x2=4
∴•=（x1+4，y1）（x2+4，y2）=（x1+4）（x2+4）+y1y2
=（k+1）x1x2+（4-2k）（x1+x2）+16+4k=+4≥68----------（6分）
∴0＜k≤1，
∴θ∈（0，]----------（8分）
点评：本题主要考查了利用抛物线的性质求解抛物线的方程，直线与抛物线方程的相交的处理中，要注意方程的根与系数的关系的应用．