Question

(2006天津，22)如下图，以椭圆(a＞b＞0)的中心O为圆心，分别以a和b为半径作大圆和小圆．过椭圆右焦点F(c，0)(c＞b)作垂直于x轴的直线交大圆于第一象限内的点A．连结OA交小圆于点B．设直线BF是小圆的切线．

(1)证明，并求直线BF与y轴的交点M的坐标；

(2)设直线BF交椭圆于P、Q两点，证明．

Answer 1

答案：略
解析：

证明：(1)由题设条件，知Rt△OFA～Rt△OBF， 故，即．因此，．　　　　　　　　　① 在Rt△OFA中，． 于是，直线OA的斜率．设直线BF的斜率为k， 则．这时，直线BF的方程为， 令x=0，则．所以直线BF与y轴的交点为M(0，a)． (2)由(1)得直线BF的方程为y=kx＋a， 且．　　　　　　　　　　　　　　　　　② 由已知，设P(，)、Q(，)，则它们的坐标满足方程组 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　③ 由方程组③消去y，并整理得 　　　　　　　　　　④ 由式①、②和④，． 由方程组③消去x，并整理得 ．　　　　　　　⑤ 由式②和⑤， ． 综上，得到 ． 注意到，得 ．

提示：

剖析：本小题主要考查椭圆的标准方程和几何性质、直线方程、平面向量、曲线和方程的关系等解析几何的基础知识和基本思想方法，考查推理及运算能力．