Question

15．已知椭圆E的中心在坐标原点O，焦点在坐标轴上，且经过M（2，1），N（2$\sqrt{2}$，0）两点．
（1）求椭圆E的方程；
（2）若平行于OM的直线l交椭圆E于两个不同点A，B，直线MA与MB的斜率分别为k₁，k₂，试问：k₁+k₂是否为定值？若是，求出此定值；若不是，说明理由．

Answer 1

分析 （1）设椭圆E的方程为mx²+ny²=1，代入M，N的坐标，解方程即可得到椭圆的方程；
（2）可设直线l的方程为$y=\frac{1}{2}x+t$，代入椭圆方程，运用韦达定理和直线的斜率公式，化简整理，即可得到斜率之和为定值．

解答 解：（1）设椭圆E的方程为mx²+ny²=1，
将M（2，1），N（2$\sqrt{2}$，0）代入椭圆E的方程，
得$\left\{\begin{array}{l}{4m+n=1}\\{8m=1}\end{array}\right.$，解得m=$\frac{1}{8}$，n=$\frac{1}{2}$，
所以椭圆E的方程为$\frac{{x}^{2}}{8}$+$\frac{{y}^{2}}{2}$=1；
（2）k₁+k₂为定值0．
因为k_OM=$\frac{1}{2}$，且直线l平行于OM，
所以可设直线l的方程为$y=\frac{1}{2}x+t$，
由$\left\{\begin{array}{l}y=\frac{1}{2}x+t\\{x^2}+4{y^2}-8=0\end{array}\right.$得x²+2tx+2t²-4=0，
设A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂），
则${x_1}+{x_2}=-2t，{x_1}{x_2}=2{t^2}-4$，
又k₁=$\frac{{y}_{1}-1}{{x}_{1}-2}$，k₂=$\frac{{y}_{2}-1}{{x}_{2}-1}$，
故k₁+k₂=$\frac{{y}_{1}-1}{{x}_{1}-2}$+$\frac{{y}_{2}-1}{{x}_{2}-2}$=$\frac{（{y}_{1}-1）（{x}_{2}-2）+（{y}_{2}-1）（{x}_{1}-2）}{（{x}_{1}-2）（{x}_{2}-2）}$，
又${y_1}=\frac{1}{2}{x_1}+t，{y_2}=\frac{1}{2}{x_2}+t$，
所以上式分子=$（\frac{1}{2}{x_1}+t-1）（{x_2}-2）+（\frac{1}{2}{x_2}+t-1）（{x_1}-2）$${x_1}{x_2}+（t-2）（{x_1}+{x_2}）-4（t-1）=2{t^2}-4+（t-2）（-2t）-4（t-1）=0$，
故k₁+k₂=0．

点评 本题考查椭圆的方程的求法，注意运用待定系数法，考查直线方程和椭圆方程联立，运用韦达定理，以及直线的斜率公式，化简整理的能力，属于中档题．