Question

给定正数p，q，a，b，c，其中p≠q，若p，a，q成等比数列，p，b，c，q成等差数列，则一元二次程bx²-2ax+c=0

无

实数根（填“有”或“无”之一）

Answer 1

分析：由p，a，q成等比数列，利用等比数列的性质列出关系式a²=pq，再由p，b，c，q成等差数列，设公差为x，x不为0，用p表示出b，c及q，然后列出一元二次方程的根的判别式，将a²=pq代入，并将表示出的p，q，b，c代入，整理后得到结果为-8x²，根据x不为0及完全平方式大于0，得到-8x²恒小于0，即可判断出方程无实数根．

解答：解：∵p，a，q成等比数列，∴a²=pq，
又p，b，c，q成等差数列，设公差为x（x≠0），
∴b=p+x，c=p+2x，q=p+3x，
一元二次程bx²-2ax+c=0根的判别式为：
∵△=（-2a）²-4bc=4a²-4bc
=4p（p+3x）-4（p+x）（p+2x）
=-8x²＜0，
则此一元二次方程无实数根．
故答案为：无

点评：此题考查了等比数列的性质，等差数列的性质，以及一元二次方程的根的分布与系数的关系，熟练掌握性质是解本题的关键．