Question

设f（x）=2x³+ax²+bx+1的导数为f′（x），若函数y=f'（x）的图象关于直线x=-

1

2

对称，且f′（1）=0．
（Ⅰ）求实数a，b的值；
（Ⅱ）若对于任意实数x，

1

6

f′(x)+m＞0恒成立，求实数m的取值范围．

Answer 1

分析：（Ⅰ）先对f（x）求导，f（x）的导数为二次函数，由对称性可求得a，再由f′（1）=0即可求出b
（Ⅱ）对于任意实数x，

1

6

f′(x)+m＞0恒成立，等价于对于任意实数x，x²+x+m-2＞0恒成立，由此可求实数m的取值范围．

解答：解：（Ⅰ）∵f（x）=2x³+ax²+bx+1，∴f′（x）=6x²+2ax+b
∵函数y=f'（x）的图象关于直线x=-

1

2

对称，
∴-

a

6

=-

1

2

∴a=3
又由于f′（1）=0，即6+2a+b=0，解得b=-12
∴a=3，b=-12；
（Ⅱ）∵对于任意实数x，

1

6

f′(x)+m＞0恒成立
即对于任意实数x，x²+x+m-2＞0恒成立     
∴△=1-4（m-2）＜0，
解得m＞

9

4

∴实数m的取值范围是(

9

4

，+∞)

点评：本题考查导数知识的运用，考查二次函数的对称性，考查恒成立问题，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．