Question

已知正项等差数列{a_n}的前n项和为S_n，其中a₁≠a₂，a_m、a_k、a_h都是数列{a_n}中满足a_h-a_k=a_k-a_m的任意项．
（Ⅰ）证明：m+h=2k；
（Ⅱ）证明：S_m•S_h≤S_k²；
（III）若也成等差数列，且a₁=2，求数列的前n项和．

Answer 1

解：（I）设数列{a_n}的公差为d，由题意a₁＜0，d＞0．
∵a_h-a_k=a_k-a_m，∴（h-k）d=（k-m）d，∴m+h=2k．…（2分）
（II）=，∴S_m•S_h≤S_k²．…（6分）
（III）取m=1，k=2，h=3，显然a₁，a₂，a₃满足a₃-a₂=a₂-a₁．…（7分）
由也成等差数列，则．
两边平方得，
再两边平方整理得4a₁²-4a₁d+d²=0，即（2a₁-d）₂=0，
∴d=2a₁=4．…（9分）
∴a_n=（2n-1）a，S_n=2n²，
∴．，显然这时数列{a_n}满足题意． …（10分）
∴S_n-S₁=2n²-2=2（n²-1）．
∴…（12分）
则=
=．…（14分）
分析：（I）根据等差数列的通项公式，用公差d，首项a₁将a_h，a_k，a_m表示出，化简整理寻求h，k，m的关系．
（II）根据等差数列{a_n}的前n项和公式，将S_m•S_h与 S_k² 求出，，S_k2=利用基本不等式，结合已知，，（a₁+a_m）（a₁+a_h） =（a₁+a_k）²合理的放缩转化，进行证明．
（III）不妨取m，n，h的一组特殊值寻求突破．取m=1，k=2，h=3．求得公差d，进而可求数列的前n项和，再用放缩法可证．
点评：本题以数列为依托研究不等式问题，考查等差数列的性质、前n项公式及计算，放缩法证明不等式．要求有较强的分析解决问题的能力，具备特殊化法突破困难的意识．