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(2012•浦东新区二模)记数列{an}的前n项和为Sn.已知向量
a
=(cos
3
+sin
3
,1)
(n∈N* )和
b
= (an,cos
3
-sin
3
)
 (n∈N* )满足
a
b

(1)求数列{an}的通项公式;
(2)求S30
(3)设bn=nan,求数列{bn}的前n项的和为Tn
分析:(1)由已知可得 an=λ(cos
3
+sin
3
,1)
,且 λ=cos
3
-sin
3
,故an=(cos
3
-sin
3
)•(cos
3
+sin
3
,1)
=cos
2nπ
3

(2)根据数列{an}的前几项分别为1,-
1
2
,-
1
2
,1,-
1
2
,-
1
2
,1,-
1
2
,-
1
2
,…可得{an}为周期为3的周期数列,且 a3k-2+a3k-1+a3k=0,k∈z,由此求得S30 的值.
(3)根据bn=nan =n cos
2nπ
3
,分 n=3k,n=3k-1,n=3k-2,分别求出数列{bn}的前n项的和为Tn
解答:解:(1)∵
a
b
,∴
b
a
=λ(cos
3
+sin
3
,1)
,再由
b
= (an,cos
3
-sin
3
)

可得 an=λ(cos
3
+sin
3
,1)
,且 λ=cos
3
-sin
3

∴an=(cos
3
-sin
3
)•(cos
3
+sin
3
,1)
=cos2
3
-  sin2
3
=cos
2nπ
3

(2)数列{an}的前几项分别为1,-
1
2
,-
1
2
,1,-
1
2
,-
1
2
,1,-
1
2
,-
1
2
,…为周期为3的周期数列,
且 a3k-2+a3k-1+a3k=0,k∈z. 
故 S30 =0.
(3)∵bn=nan =n cos
2nπ
3
,故当 n=3k,k∈N* 时,
∵b3k-2+b3k-1+b3k=(3k-2)(-
1
2
)+(3k-1)(-
1
2
)+3k•1=
3
2

∴Tn=T3k=
3k
2
=
3
2
×
n
3
=
n
2

当 n=3k-1,k∈N*时,Tn=T3k-1=T3k-b3k=
3k
2
-3k•1=-
3k
2
=-
3
2
n+1
3
=-
n+1
2

当 n=3k-2,k∈N* 时,
Tn=T3k-2-b3k-b3k-1=
3k
2
-3k-(3k-1)(-
1
2
)=-
3k
2
+
3k -1
2
=-
1
2

故 Tn=
n
2
  , (n=3k)
-
n+1
2
, (n=3k-1)
-
1
2
 ,   (n=3k-2)
点评:本题主要考查数列的函数的函数特性,数列求和,两个向量共线的性质,体现了分类讨论的数学思想,属于中档题.
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(2012•浦东新区一模)函数y=
log2(x-2) 
的定义域为
[3,+∞)
[3,+∞)

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①X∈M、∅∈M;
②对于X的任意子集A、B,当A∈M且B∈M时,有A∪B∈M;
③对于X的任意子集A、B,当A∈M且B∈M时,A∩B∈M;
则称M是集合X的一个“M-集合类”.
例如:M={∅,{b},{c},{b,c},{a,b,c}}是集合X={a,b,c}的一个“M-集合类”.已知集合X={a,b,c},则所有含{b,c}的“M-集合类”的个数为
10
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1
2
,x∈[0,2]
的图象作适当变换,得到该段函数的曲线.请写出曲线段AB在x∈[2,3]上对应的函数解析式
y=
2
(x-2)
1
2
+2
y=
2
(x-2)
1
2
+2

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(2012•浦东新区一模)设复数z满足|z|=
10
,且(1+2i)z(i是虚数单位)在复平面上对应的点在直线y=x上,求z.

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(2012•浦东新区二模)已知z=
1
1+i
,则
.
z
=
1
2
+
1
2
i
1
2
+
1
2
i

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