Question

椭圆以双曲线的实轴为短轴、虚轴为长轴，且与抛物线交于两点.

（1）求椭圆的方程及线段的长；

（2）在与图像的公共区域内，是否存在一点，使得的弦与的弦相互垂直平分于点？若存在，求点坐标，若不存在，说明理由.

 

Answer 1

（1） ，；（2）不存在这样的点．

【解析】

试题分析：（1） 求椭圆的方程，只需求出即可，由双曲线得，，故得椭圆，从而得椭圆的方程为，求线段的长，只需求出的坐标，由椭圆的方程，及抛物线的方程，联立方程组解得，从而可得线段的长；（2）这是探索性命题，一般假设存在，可设出，代入椭圆的方程，两式作差，得，设出，代入抛物线，两式作差，得，的弦与的弦相互垂直得，，从而得到，由题设条件，来判断点是否存．

试题解析：（1）椭圆：；联立方程组解得，所以.

（2）假设存在，由题意将坐标带入做差得，将坐标带入得，，故满足条件的点在抛物线外，所以不存在这样的点.

考点：椭圆的方程，直线与二次曲线位置关系．