Question

若关于x的方程

4-x2

=kx+2只有一个实数根，则k的取值范围为

 

．

Answer 1

分析：设已知方程的左边为y₁，右边为y₂，故y₂表示圆心为原点，半径为2的半圆，y₂表示恒过定点（0，2）的直线，画出两函数的图象，如图所示，则原方程要只有一个实数根，即要半圆与直线只有一个公共点，根据图象可知当直线与半圆相切时满足题意，求出此时k的值，再求出两个特殊位置，直线再过（2，0），求出此时k的值，当k小于求出的值时满足题意，同时求出直线过（-2，0）时k的值，当k大于求出的值时满足题意，综上，得到所有满足题意的k的范围．

解答：解：设y₁=

4-x2

，y₂=kx+2，
则y₁表示圆心为原点，半径为2的x轴上方的半圆，y₂表示恒过（0，2）的直线，
画出两函数图象，如图所示，根据图象可得：
当直线与半圆相切，即直线为y=2时，直线与半圆只有一个公共点，
即方程

4-x2

=kx+2只有一个实数根，此时k=0；
当直线过（0，2）和（2，0）时，直线的斜率为-1，
则当k＜-1时，直线与半圆只有一个公共点，
即方程

4-x2

=kx+2只有一个实数根；
当直线过（0，2）和（-2，0）时，直线的斜率为1，
则当k＞1时，直线与半圆只有一个公共点，
即方程

4-x2

=kx+2只有一个实数根，
综上，满足题意的k的范围是k=0或k＞1或k＜-1．
故答案为：k=0或k＞1或k＜-1

点评：此题考查了直线与圆相交的性质，以及函数的图象，考查了数形结合的思想，解此类题的思路为：把方程两边分别设为函数，借助图形，利用两函数图象的交点个数判断方程解的情况来解决问题，同时要求学生考虑问题要全面．