Question

5．若函数f（x）满足：x³f′（x）+3x²f（x）=e^x，f（1）=e，其中f′（x）为f（x）的导函数，则（　　）

• A． f（1）＜f（3）＜f（5）
• B． f（1）＜f（5）＜f（3）
• C． f（3）＜f（1）＜f（5）
• D． f（3）＜f（5）＜f（1）

Answer 1

分析 首先由已知的等式构造[x³f（x）-e^x]′=0，由题意求出c，得到f（x）的解析式，从而得到答案．

解答 解：由x³f′（x）+3x²f（x）=e^x，得到[x³f（x）-e^x]'=0，
设x³f（x）-e^x=c，
因为f（1）=e，
所以c=0，
∴x=0不满足题意，
x≠0时，f（x）=$\frac{{e}^{x}}{{x}^{3}}$，f′（x）=$\frac{{x}^{2}{e}^{x}（x-3）}{{x}^{6}}$，
所以f（3）＜f（5）＜f（1）．
故选：D．

点评 本题考查了函数的单调性与导数的关系，关键是由已知得到函数的解析式．