Question

1．求$\underset{lim}{x→0}$$\frac{{∫}_{0}^{x}si{n}^{2}tdt}{{x}^{3}}$．

Answer 1

分析 先求出定积分的值，再根据$\underset{lim}{x→0}\frac{sinx}{x}$=1，求得结果．

解答 解：∵定积分 ${∫}_{0}^{x}$ $\frac{1-cos2t}{2}$dx=（$\frac{t}{2}$-$\frac{sin2t}{4}$）${|}_{0}^{x}$=$\frac{x}{2}$-$\frac{sin2x}{4}$，
∴$\underset{lim}{x→0}$$\frac{{∫}_{0}^{x}si{n}^{2}tdt}{{x}^{3}}$=$\underset{lim}{x→0}$$\frac{\frac{x}{2}-\frac{sin2x}{4}}{{x}^{3}}$=$\underset{lim}{x→0}$[$\frac{\frac{1}{2}-\frac{1}{4}•cos2x•2}{{3x}^{2}}$]=$\underset{lim}{x→0}$ $\frac{1-cos2x}{{6x}^{2}}$
=$\underset{lim}{x→0}$$\frac{{sin}^{2}x}{{3x}^{2}}$=$\frac{1}{3}$$\underset{lim}{x→0}$${（\frac{sinx}{x}）}^{2}$=$\frac{1}{3}$．

点评 本题主要考查数列的极限，求定积分的值，属于基础题．