Question

在数列{a_n}中，a₁=2，a_n+1=2a_n-n+1，n∈N^*
（1）证明：数列{a_n-n}是等比数列；
（2）求数列{a_n}的前n项和S_n．

Answer 1

分析：（1）由a_n+1=2a_n-n+1可得a_n+1-（n+1）=2（a_n-n），且a₁-1=2≠0，可证
（2）由（1）可求an=2n-1+n，利用分组求和，结合等差数列与等比数列 的求和公式可求

解答：（1）证明：∵a_n+1=2a_n-n+1
∴a_n+1-（n+1）=2（a_n-n），又a₁-1=2≠0
∴数列{a_n-n}是首项为1，公比为2的等比数列（5分）
（2）解：由（1）可得an-n=1•2n-1即an=2n-1+n（9分）
∴Sn=(20+1)+(21+2)+…+(2n-1+n)
=（1+2+…+2^n-1）+（1+2+…+n）
=2n-1+

n(n+1)

2

=2n+

n2+n+2

2

（13）

点评：本题主要考查了利用构造法证明等比数列（主要是配凑定义符合的要求），分组求和方法及等差数列、等比数列的求和公式的应用．