【题目】设函数,
(1)当时,求函数
的单调区间;
(2)当,
时,求证:
.
【答案】(1)增区间为: ,
.减区间为
,
.(2) 见解析。
【解析】试题分析:(1)本问考查利用导数求函数的单调性,首先确定函数的定义域为,对
求导数
,解
得增区间,解
得减区间;(2)本问考查利有导数证明不等式,当
时,只需证:
,即转化为证明
当
时成立,构造函数
,转化为证明
在
时恒成立即可,转化为求函数
的最小值问题.
试题解析:(1)函数的定义域为
,当
时,
,
令: ,得:
或
,所以函数单调增区间为:
,
.
,得:
,所以函数单调减区间为
,
.
(2)若证,
成立,只需证:
,
即: 当
时成立.
设.
∴,显然
在
内是增函数,
且,
,
∴在
内有唯一零点
,使得:
,
且当,
;
当,
.
∴在
递减,在
递增.
,
∵,∴
.
∴,∴
成立.
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【题目】据气象中心观察和预测:发生于M地的沙尘暴一直向正南方向移动,其移动速度v(km/h)与时间t(h)的函数图象如图所示,过线段OC上一点T(t,0)作横轴的垂线l,梯形OABC在直线l左侧部分的面积即为t(h)内沙尘暴所经过的路程s(km).
(1)当t=4时,求s的值;
(2)将s随t变化的规律用数学关系式表示出来.
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【题目】函数f(x)=(x2﹣3)ex , 当m在R上变化时,设关于x的方程f2(x)﹣mf(x)﹣ =0的不同实数解的个数为n,则n的所有可能的值为( )
A.3
B.1或3
C.3或5
D.1或3或5
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【题目】椭圆与
的中心在原点,焦点分别在
轴与
轴上,它们有相同的离心率
,并且
的短轴为
的长轴,
与
的四个焦点构成的四边形面积是
.
(1)求椭圆与
的方程;
(2)设是椭圆
上非顶点的动点,
与椭圆
长轴两个顶点
,
的连线
,
分别与椭圆
交于
,
点.
(i)求证:直线,
斜率之积为常数;
(ii)直线与直线
的斜率之积是否为常数?若是,求出该值;若不是,说明理由.
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【题目】函数f(x)=ka﹣x(k,a为常数,a>0且a≠1)的图象过点A(0,1),B(3,8).
(1)求函数f(x)的解析式;
(2)若函数g(x)= 是奇函数,求b的值;
(3)在(2)的条件下判断函数g(x)的单调性,并用定义证明你的结论;
(4)解不等式g(3x)+g(x﹣3﹣x2)<0.
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【题目】已知函数 ,其反函数为y=g(x).
(1)若g(mx2+2x+1)的定义域为R,求实数m的取值范围;
(2)当x∈[﹣1,1]时,求函数y=[f(x)]2﹣2af(x)+3的最小值h(a);
(3)是否存在实数m>n>2,使得函数y=h(x)的定义域为[n,m],值域为[n2 , m2],若存在,求出m、n的值;若不存在,则说明理由.
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【题目】已知椭圆 和点P(4,2),直线l经过点P且与椭圆交于A,B两点.
(1)当直线l的斜率为 时,求线段AB的长度;
(2)当P点恰好为线段AB的中点时,求l的方程.
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【题目】设 =
,
=(4sinx,cosx﹣sinx),f(x)=
.
(1)求函数f(x)的解析式;
(2)已知常数ω>0,若y=f(ωx)在区间 是增函数,求ω的取值范围;
(3)设集合A= ,B={x||f(x)﹣m|<2},若AB,求实数m的取值范围.
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【题目】某校高一(1)班全体男生的一次数学测试成绩的茎叶图和频率分布直方图都受到不同程度的破坏,但可见部分如图甲所示,据此解答如下问题:
(1)求该班全体男生的人数;
(2)求分数在[80,90)之间的男生人数,并计算频率公布直方图如图乙中[80,90)之间的矩形的高.
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