Question

13．函数f（x）=（x-1）（x²+ax+b）x∈[-2，0]的图象关于点（-1，0）对称，则f（x）的最小值是-3．

Answer 1

分析 由题意可得（-1，0）在f（x）的图象上，（0，-b）关于（-1，0）对称点为（-2，b），解关于a，b的方程可得f（x）的解析式，求出导数，判断符号，由单调性即可得到所求最小值．

解答 解：取f（x）图象上（0，-b）关于（-1，0）对称点为（-2，b），
（-1，0）在f（x）的图象上，
即有-2（1-a+b）=0，且-3（4-2a+b）=b，
解方程可得a=4，b=3，
则f（x）=（x-1）（x²+4x+3），x∈[-2，0]
导数为f′（x）=3x²+6x-1=3x（x+2）-1＜0，
则f（x）在[-2，0]递减，
f（-2）取得最大值，且为3；
f（0）取得最小值，且为-3．
故答案为：-3．

点评 本题考查函数的最值的求法，注意运用函数的对称性和导数，以及单调性，考查运算能力，属于中档题．