Question

已知f（x）=cos²x+asinx-

a

4

-

1

2

，a∈R．
（1）当a=2时，求函数f（x）的值域；
（2）记函数f（x）的最大值为M（a），求M（a）的解析式；
（3）求a取何值时，方程f（x）=（a+1）sinx在[0，2π）上有两个解？

Answer 1

考点：三角函数的最值

专题：三角函数的求值

分析：（1）当a=2时，求函数f（x）=-（sinx-1）²+1，再利用二次函数的性质求得函数的值域．
（2）f（x）=-(sinx-

a

2

)2+

a2

4

-

a

4

+

1

2

，再分当

a

2

≤-1时、当-1≤

a

2

≤1时、当

a

2

≥1时三种情况，分别利用二次函数的性质求得它的最大值，综合可得M（a）的值．
（3）由于当x∈[0，2π）时，任意一个sinx的值（除±1）外，都有2个x值与之对应．令t=sinx∈（-1，1），则由题意可得，函数y=t²+t的图象和直线y=

2-a

4

在（-1，1）上只有1个交点，数形结合可得 0＜

2-a

4

＜2，或

2-a

4

=-

1

4

，由此求得a的范围．

解答： 解：（1）当a=2时，求函数f（x）=cos²x+asinx-

a

4

-

1

2

=-sin²x+2sinx=-（sinx-1）²+1，
故当sinx=1时，函数取得最大值为1；当 sinx=-1时，函数取得最小值为-3，
故函数的值域为[-3，1]．
（2）∵f（x）=1-sin²x+asinx-

a

4

-

1

2

=-(sinx-

a

2

)2+

a2

4

-

a

4

+

1

2

，
故当

a

2

≤-1时，最大值为-(-1-

a

2

)2+

a2

4

-

a

4

+

1

2

=-

5a

4

-

1

2

； 当-1≤

a

2

≤1时，最大值为

a2

4

-

a

4

+

1

2

；当

a

2

≥1时，最大值为-(1-

a

2

)2+

a2

4

-

a

4

+

1

2

=

3a

4

-

1

2

．
综上可得 M（a）=

- 5a 4 - 1 2 ，a≤-2 a2 4 - a 4 + 1 2 ，-2＜a＜2 3a 4 - 1 2 ，a≥2

．
（3）方程f（x）=（a+1）sinx在[0，2π）上有两个解，即 sin²x+sinx=

2-a

4

 在[0，2π）上有两个解．
由于当x∈[0，2π）时，任意一个sinx的值（除±1）外，都有2个x值与之对应，
令t=sinx∈（-1，1），则由题意可得，函数y=t²+t的图象和直线y=

2-a

4

在（-1，1）上只有1个交点，
∴0＜

2-a

4

＜2，或

2-a

4

=-

1

4

； 即-2＜

a-2

4

＜0或a=3，解得-6＜a＜2，或a=3．
故要求的a的范围是：（-6，2）∪{3}．

点评：本题主要考查求三角函数的最值，二次函数的性质，体现了转化、分类讨论、数形结合的数学思想，属于中档题．