Question

如图1，直角梯形ABCD中AB∥CD，∠ADC=90°，点M，N分别在线段AB，CD上，且MN⊥AB，BC=1，MB=2，∠CBM=60°，现将梯形ABCD沿MN折起，使DN⊥NC，如图2．
（Ⅰ）求证：平面AMND⊥平面MNCB；
（Ⅱ）当直线DB与平面MNCB所成角的大小为30°时，求三棱锥C-DNB的体积．

Answer 1

考点：棱柱、棱锥、棱台的体积,平面与平面垂直的判定

专题：空间位置关系与距离,空间角

分析：（Ⅰ）由已知得DN⊥MN，又DN⊥NC，MN∩NC=N，从而DN⊥平面MNCB，由此能证明平面AMND⊥平面MNCB．
（Ⅱ）以N为原点，NM为x轴，NC为y轴，ND为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出三棱锥C-DNB的体积．

解答： （Ⅰ）证明：∵直角梯形ABCD中AB∥CD，∠ADC=90°，
点M，N分别在线段AB，CD上，且MN⊥AB，
∴DN⊥MN，又DN⊥NC，MN∩NC=N，
∴DN⊥平面MNCB，
又DN?平面AMND，∴平面AMND⊥平面MNCB．
（Ⅱ）解：由（Ⅰ）知BM⊥平面MNCB，
∵直线DB与平面MNCB所成角的大小为30°，∴∠BDM=30°，
由已知得BM=2，CN=

3

2

，BC=1，BD=4，DM=2

3

，
MN=

3

2

，DN=

3 5

2

，BN=

19

2

，
以N为原点，NM为x轴，NC为y轴，ND为z轴，
建立空间直角坐标系，
则N（0，0，0），D（0，0，

3 5

2

），B（

3

2

，2，0），C（0，

3

2

，0），

NB

=（

3

2

，2，0），

ND

=（0，0，

3 5

2

），

NC

=(0，

3

2

，0)，
设平面NBD的法向量

n

=（x，y，z），
则

n • NB = 3 2 x+2y=0 n • ND = 3 5 2 z=0

，取x=4

3

，得

n

=（4

3

，-3，0），
∴C到平面BDN的距离d=

| NC • n |

| n |

=

|- 9 2 |

48+9

=

3 57

38

，
S△BDN=

1

2

×DN×BN=

1

2

×

3 5

2

×

19

2

=

3 95

8

，
∴三棱锥C-DNB的体积V=

1

3

×S△BDN×d=

1

3

×

3 95

8

×

3 57

38

=

3 5415

304

．

点评：本题考查平面与平面垂直的证明，考查三棱锥的体积的求法，是中档题，解题时要注意空间思维能力的培养．