Question

某远洋捕渔船到远海捕鱼，由于远海渔业资源丰富，每撒一次网都有w万元的收益；同时，又由于远海风云未测，每撒一次网存在遭遇沉船事故的可能，其概率为

1

k

（常数k为大于l的正整数）．假定，捕鱼船吨位很大，可以装下几次撒网所捕的鱼，而在每次撒网时，发生不发生沉船事故与前一次撒网无关，若发生沉船事故，则原来所获的收益将随船的沉没而不存在，又已知船长计划在此处撒网n次．
（1）当n=3时，求捕鱼收益的期望值
（2）试求n的值，使这次远洋捕鱼收益的期望值达到最大．

Answer 1

分析：（1）当n=3时，分别计算出捕鱼收益为0或3的概率，再列表：

收益	0	3W
P	1-(1- 1 k )3	(1- 1 k )3

最后结合期望的计算公式即可求得收益的期望值；
（2）先列表如下：

收益	0	nW
P	1-(1- 1 k )n	(1- 1 k )n

分别得出撒了n次网收益的期望值和撒了n+1次网收益的期望值，再比较它们的大小情况讨论其单调性，从而求得最大值．

解答：解：（1）列表：

收益	0	3W
P	1-(1- 1 k )3	(1- 1 k )3

（3分）
所以收益的期望值=3W(1-

1

k

)3（3分）
（2）列表：

收益	0	nW
P	1-(1- 1 k )n	(1- 1 k )n

因此，撒了n次网收益的期望值等于f(n)=wn(1-

1

k

)n（4分）f(n+1)=w(n+1)(1-

1

k

)n+1=wn(1-

1

k

)n(1-

1

k

)

n+1

n

=f(n)[1+

(k-1)-n

kn

]，
∵[1+

(k-1)-n

kn

]≥1等价于（k-1）-n≥0，得n≤k-1．
∴当n＜k-1时，f（n+1）＞f（n）；当n=k-1时，f（n+1）=f（n）；
当n＞k-1时，f（n+1）＜f（n）；因此，当n=k-1时，f（n）达到最大．（4分）

点评：离散型随机变量的期望与方差的实际应用题，我们要经过析题→建模→解模→还原四个过程，在建模时要注意实际情况对自变量取值范围的限制，解模时也要实际问题实际考虑．