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    设函数的定义域为（0，）.

    (Ⅰ)求函数在上的最小值；

    (Ⅱ)设函数，如果，且，证明：.

     

    【答案】

    （Ⅰ）（Ⅱ）详见解析.

    【解析】

    试题分析：(Ⅰ) 利用导数分析单调性，进而求最值；(Ⅱ)分类讨论函数的单调性

    试题解析：(Ⅰ)，则时，；时，。

    所以，函数在（0，1）上是减函数，在（1，+）上是增函数.  2分

    当时，函数在[m，m+1]上是增函数,

    此时；

    当时，函数在[m， 1]上是减函数,在[1，m+1]上是增函数，

    此时；                                 6分

    (Ⅱ)证明：考察函数， 

    所以g(x)在()内是增函数，在()内是减函数.（结论1）

    考察函数F(x)=g(x)-g(2-x)，即

    于是

    当x>1时，2x-2>0,从而(x)>0,

    从而函数F（x）在[1,+∞)是增函数。                                           

    又F(1)=F(x)>F(1)=0,即g(x)>g(2-x). （结论2）  10分

    若，由结论1及，得，与矛盾；

    若，由结论1及，得，与矛盾；  12分

    若不妨设

    由结论2可知，g()>g(2-)，所以>g(2-)。

    因为，所以，又由结论1可知函数g(x)在区间（-∞，1）内是增函数，

    所以>,即>2.                  15分

    考点：导数，函数的单调性，分类讨论.

     

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    2
    5
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