Question

9．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c．已知，A+3C=π．
（1）若$\frac{b}{c}$=$\sqrt{3}$，求角C；
（2）若△ABC为锐角三角形，求cosB取值范围．

Answer 1

分析 （1）利用三角形内角和定理与正弦定理、倍角公式即可得出．
（2）由于△ABC为锐角三角形，B=2C∈$（0，\frac{π}{2}）$，A=π-3C=$π-\frac{3}{2}B$∈$（0，\frac{π}{2}）$，解出即可得出．

解答 解：（1）∵A+3C=π=A+B+C，∴B=2C．
∵$\frac{b}{c}$=$\sqrt{3}$，∴$\frac{sinB}{sinC}$=$\sqrt{3}$=$\frac{sin2C}{sinC}$=2cosC，
∴cosC=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，又C∈（0，π），
∴$C=\frac{π}{6}$．
（2）∵△ABC为锐角三角形，B=2C∈$（0，\frac{π}{2}）$，
A=π-3C=$π-\frac{3}{2}B$∈$（0，\frac{π}{2}）$，
解得$\frac{π}{3}$＜B$＜\frac{π}{2}$，
∴cosB∈$（0，\frac{1}{2}）$．

点评 本题考查了三角形内角和定理、正弦定理、锐角三角形的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．