Question

空间内有n个平面，设这n个平面最多将空间分成a_n个部分．
（1）求a₁，a₂，a₃，a₄；
（2）写出a_n关于n的表达式并用数学归纳法证明．

Answer 1

分析：（1）直接通过直线分平面所得部分写出a₁，a₂，a₃，a₄；
（2）利用（1）写出a_n关于n的表达式，直接利用用数学归纳法证明的步骤证明结论即可．

解答：解：（1）一条直线把平面分成2部分，所以a₁=2，
两条直线把平面最多分成4部分，所以a₂=4，
三条直线把平面最多分成8部分，所以a₃=8，
四条直线最多分成15部分，所以a₄=15；
（2）由（1）可知，an=

1

6

(n3+5n+6)．证明如下：
当n=1时显然成立，
设n=k（k≥1，k∈N^*）时结论成立，即ak=

1

6

(k3+5k+6)，
则当n=k+1时，再添上第k+1个平面，因为它和前k个平面都相交，所以可得k条互不平行且不共点的交线，且其中任3条直线不共点，这k条交线可以把第k+1个平面划最多分成

1

2

[(k+1)2-(k+1)+2)]个部分，每个部分把它所在的原有空间区域划分成两个区域．因此，空间区域的总数增加了

1

2

[(k+1)2-(k+1)+2)]个，
∴ak+1=ak+

1

2

[(k+1)2-(k+1)+2)]=

1

6

(k3+5k+6)+

1

2

[(k+1)2-(k+1)+2)]=

1

6

[(k+1)3+5(k+1)+6)]，
即当n=k+1时，结论也成立．
综上，对?n∈N^*，an=

1

6

(n3+5n+6)．

点评：本题考查数学归纳法在实际问题中的应用，考查数学归纳法的证明步骤的应用，考查逻辑推理能力．