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(本小题满分13分)如图(甲),在直角梯形ABED中,AB//DE,ABBE,ABCD,且BC=CD,AB=2,F、H、G分别为AC ,AD ,DE的中点,现将△ACD沿CD折起,使平面ACD平面CBED,如图(乙).

(1)求证:平面FHG//平面ABE;

(2)记表示三棱锥B-ACE 的体积,求的最大值;

(3)当取得最大值时,求二面角D-AB-C的余弦值.

 

 

【答案】

(1)证明:见解析;(2)当有最大值,

 (3)  

【解析】本题的考点是面面平行的判断,主要考查证明面面平行,考查几何体的体积,考查二面角的平面角,关键是正确运用面面平行的判定,利用向量法求面面角,关键是求出相应的法向量

(1)欲证平面FHG∥平面ABE,只需证明线面平行,故只需要在平面FHG中寻找两条相交直线与平面平行;

(2)由于平面ACD⊥平面CBED 且AC⊥CD,所以AC⊥平面CBED,故可表示三棱锥B-ACE的体积,利用基本不等式求最值,注意等号成立的条件;(3)求解二面角D-AB-C的余弦值,建立空间直角坐标系,利用向量法求解,分别求出平面ACB的法向量,平面ABD的法向量,利用向量的夹角公式得到cosθ

解:(1)证明:由图(甲)结合已知条件知四边形CBED为正方形

如图(乙)

∵F、H、G分别为AC , AD,DE的中点

∴FH//CD, HG//AE-,∵CD//BE  ∴FH//BE

,同理可得

又∵    ∴平面FHG//平面ABE

(2)∵平面ACD平面CBED 且ACCD

    ∴平面CBED

   ∴

,令(不合舍去)或

,当

∴当有最大值,

 (3):由(2)知当取得最大值时,即

BC=这时AC=,从而

过点C作CMAB于M,连结MD

 ∴

       ∴

   ∴

是二面角D-AB-C的平面角

在Rt△MCD中 

 

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