本小题主要考查函数的概念、导数应用、函数的单调区间和极值等知识,考查运用数学知识解决问题及推理的能力。
(1)对于任意的a>0,
,均有
①在①中取
(2) 令
时,∵
,∴
,则
而
时,
,则
而
, ∴
,即
成立
赋值法得到结论。
(3)由(Ⅱ)中的③知,当
时,
,
分析导数得到单调区间。
(Ⅰ)证明:对于任意的a>0,
,均有
①
在①中取
∴
②
(Ⅱ)证法一:当
时,由①得
取
,则有
③
当
时,由①得
取
,则有
④
综合②、③、④得
;
证法二:
令
时,∵
,∴
,则
而
时,
,则
而
, ∴
,即
成立
令
,∵
,∴
,则
而
时,
,则
即
成立。综上知
(Ⅲ)解法1:由(Ⅱ)中的③知,当
时,
,
从而
又因为k>0,由此可得
所以
在区间
内单调递减,在区间(
)内单调递增。
解法2:由(Ⅱ)中的③知,当
时,
,
设
则
又因为k>0,所以
(i)当
;
(ii)当
所以
在区间
内单调递减, 在区间(
)内单调递增.