Question

（2012•大连二模）选修4-5：不等式选讲定义min{a，b}=

a，a≤b b，a＞b

，求函数f（x）=min{|x-2|+|2x+1|，-x²+3x+3}的最大值．

Answer 1

分析：由题意，函数f（x）是取|x-2|+|2x+1|和-x²+3x+3两个值中的较小值．因此根据x的取值范围将|x-2|+|2x+1|化成分段函数的表达式，利用作差的方法分别得到各个范围内|x-2|+|2x+1|与-x²+3x+3的大小关系，从而得到f（x）的分段函数表达式，再结合函数的单调性可得f（x）的最大值．

解答：解：根据绝对值的意义，可得|x-2|+|2x+1|=

3x-1    x≥2 x+3     - 1 2 ＜x＜2 -3x+1    x≤- 1 2

…（3分）
①当x≥2时-x²+3x+3-（3x-1）=-x²+4≤0成立，此时|x-2|+|2x+1|＞-x²+3x+3，∴f（x）=-x²+3x+3；
②当-

1

2

＜x＜2时，-x²+3x+3-（x+3）=-x²+2x≤0在（-

1

2

，0）成立，此时f（x）=-x²+3x+3．
-x²+3x+3-（x+3）=-x²+2x≥0在[0，2）成立，此时f（x）=x+3；
③当x≤-

1

2

时，-x²+3x+3-（-3x+1）=-x²+6x+2≤0在（-∞，-

1

2

]成立，此时f（x）=-x²+3x+3；
所以f（x）=

-x2+3x+3      x≤0 x+3        0＜x＜2 -x2+3x+3     x≥2

，…（6分）
可得函数在（-∞，0），（0，2）上是增函数，在（2，+∞）上是减函数
因此，当x≤0时，f（x）≤f（0）=3；当0＜x＜2时，f（x）＜f（2）=5；当x≥2时，f（x）≤f（2）=5．
综上所述，可得f（x）最大值为5． …（10分）

点评：本题给出取最小值的函数min{a，b}，求f（x）=min{|x-2|+|2x+1|，-x²+3x+3}的最大值．着重考查了绝对值的意义、分段函数的单调性和函数的最值及其几何意义等知识，属于中档题．