Question

（2012•蓝山县模拟）给定集合A={a₁，a₂，a₃，…，a_n}（n∈N?，n≥3），定义a_i+a_j（1≤i＜j≤n，i，j∈N）中所有不同值的个数为集合A两元素和的容量，用L（A）表示，若A={2，4，6，8}，则L（A）=

5

；若数列{a_n}是等差数列，设集合A={a₁，a₂，a ₃，…，a _m}（其中m∈N^*，m为常数），则L（A）关于m的表达式为

2m-3

．

Answer 1

分析：严格利用题目给出的新定义采用列举法来进行求解即可．

解答：解：∵A={2，4，6，8}，
∴ai+aj（1≤i＜j≤4，i，j∈N）分别为：2+4=6，2+6=8，2+8=10，4+6=10，4+8=12，6+8=14，
其中2+8=10，4+6=10，
∴定义ai+aj（1≤i＜j≤4，i，j∈N）中所有不同值的个数为5，
即当A={2，4，6，8}时，L（A）=5．
当数列{an}是等差数列，且集合A={a₁，a₂，a ₃，…，a _m}（其中m∈N*，m为常数）时，
ai+aj（1≤i＜j≤m，i，j∈N）的值列成如下各列所示图表：
a₁+a₂，a₂+a₃，a₃+a₄，…，a_m-2+a_m-1 ，a_m-1+a_m，
a₁+a₃，a₂+a₄，a₃+a₅，…，a_m-2+a_m ，
…，…，…，…，
a₁+a_m-2 ，a₂+a_m-1，a₃+a_m，
a₁+a_m-1，a₂+a_m，
a₁+a_m，
∵数列{an}是等差数列，
∴a₁+a₄=a₂+a₃，
a₁+a₅=a₂+a₄，
…，
a₁+a_m=a₂+a_m-1，
∴第二列中只有a₂+a_m的值和第一列不重复，即第二列剩余一个不重复的值，
同理，以后每列剩余一个与前面不重复的值，
∵第一列共有m-1个不同的值，后面共有m-1列，
∴所有不同的值有：m-1+m-2=2m-3，
即当集合A={a₁，a₂，a ₃，…，a _m}（其中m∈N*，m为常数）时，L（A）=2m-3．

点评：本题的属于新定义的创新题，题目篇幅长，难于理解是解决这一问题的障碍．