Question

已知f（x）=ax²+bx+c，f（0）=0，对任意实数x恒有f（1-x）=f（1+x）成立，方程f（x）=x有两个相等实根．
（1）求f（x）；
（2）是否存在实数m，n，使得函数f（x）在区间[m，n]上的值域为[3m，3n]？为什么？

Answer 1

解：（1）∵f（1-x）=f（1+x），∴f（x）的对称轴为x=1，
可得-=1即b=-2a．（*）
∵f（x）=x有两相等实根，∴ax²+bx=x，即方程ax²+（b-1）x=0有两相等实数根，
∴（b-1）²-4×a×0=0，解之得b=1，代入（*）得a=-，
∴函数的解析式为f（x）=-x²+x．
（2）由（1）得f（x）=-x²+x=-（x-1）²+≤，
若函数f（x）在区间[m，n]上的值域为[3m，3n]，可得3n≤，所以m＜n≤，
又∵函数的图象是开口向下的抛物线，对称轴为x=1，
∴f（x）在区间[m，n]上单调递增，有f（m）=3m且f（n）=3n，
解之得m=0或m=-4，n=0或n=-4，
又∵m＜n，∴m=-4，n=0．
即存在实数m=-4、n=0，使得函数f（x）在区间[m，n]上的值域恰好为[3m，3n]．
分析：（1）根据f（1-x）=f（1+x）恒成立，得-=1即b=-2a．由方程f（x）=x有相等的实根，得到方程ax²+（b-1）x=0根的判别式为0．联解可得a=-且b=1，得到函数的解析式；
（2）根据函数f（x）在区间[m，n]上的值域为[3m，3n]，得到3n小于或等于函数的在R上的最大值，从而得到m＜n≤，所以函数f（x）在区间[m，n]上单调递增．由此建立m、n的方程组，解之即可得到存在实数m=-4、n=0，使得函数f（x）在区间[m，n]上的值域恰好为[3m，3n]．
点评：本题给出二次函数含有字母参数，求函数的解析式并讨论函数在区间[m，n]上的值域能否为[3m，3n]．着重考查了二次函数的图象与性质、函数解析式的求法和不等式的解法等知识，属于中档题．