Question

关于x的方程

1-x2

=k（x-2）+1有两解则k的取值范围是

（0，

1

3

]

．

Answer 1

分析：等式左边是一段圆弧x²+y²=1 （y≥0），右边是条直线y=kx+1-2k，直线恒过定点（2，1），再考虑直线与圆相切及过点（-1，0）两个位置的斜率，从而得解．

解答：解：由题意，等式左边是一段圆弧x²+y²=1 （y≥0）
右边是条直线y=kx+3-2k，直线恒过定点（2，1）
根据点到直线的距离小于半径时才有和圆弧所在的圆有两个交点
∴k＞0
当直线过点（-1，0）时，k=

1-0

2-(-1)

=

1

3

所以方程

1-x2

=k（x-2）+1有两个不等实根时，0＜k≤

1

3

．
故答案为：（0，

1

3

]．

点评：本题以方程根为载体，考查根的存在性及根的个数判断，其中利用方程的几何意义，是解答本题的关键．