Question

某工厂要建造一个长方体无盖贮水池，其容积为4800m³，深为3m，如果池底每平方米的造价为150元，池壁每平方米的造价为120元，记该水池底面一边的长度为x m（x＞0），该水池的总造价为y元．
（Ⅰ）写出y关于x的函数表达式；
（Ⅱ）怎样设计水池能使总造价最低？最低总造价是多少元？

Answer 1

分析：（Ⅰ）分别计算池底与池壁的造价，可得y关于x的函数表达式；
（Ⅱ）利用基本不等式，可求总造价最低及最低总造价．

解答：解：（Ⅰ）因水池底面一边的长度为xm，则另一边的长度为

4800

3x

m，--（1分）
根据题意，得y=150×

4800

3

+120（2×3x+2×3×

4800

3x

）=240000+720（x+

1600

x

）
∴所求的函数表达式为：y=720（x+

1600

x

）+240000（x＞0）-----------（6分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）得y=720（x+

1600

x

）+240000≥720×2

x• 1600 x

+240000-----------（9分）
=720×2×40+240000=297600．-----------（10分）
当且仅当x=

1600

x

，即x=40时，y有最小值297600．
此时另一边的长度为

4800

3x

=40m（---11分）
因此，当水池的底面是边长为40 m的正方形时，水池的总造价最低，最低总造价是297600元．-----------（12分）

点评：本题考查函数模型的构建，考查利用基本不等式求最值，考查利用数学知识解决实际问题，属于中档题．