Question

（文）抛物线y²=4x，过点P（4，0）的直线与抛物线相交于两点A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则

1

x1

+

1

x2

的最小值是

 

．

Answer 1

分析：设出过P的直线方程，通过联立方程组，利用韦达定理推出A、B两点的横坐标的和与积，化简

1

x1

+

1

x2

，即可求出最小值．

解答：解：设过点P（4，0）的直线为：x=my+4，
直线与抛物线相交于两点A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
所以，

x=my+4 y2=4x

，
即x²-（4m²+8）x+16=0，
由韦达定理可知：x₁+x₂=4m²+8，x₁•x₂=16，
所以

1

x1

+

1

x2

=

x1+x2

x1x2

=

4m2+8

16

≥

1

2

    m=0时等号成立．

1

x1

+

1

x2

的最小值是：

1

2

．

点评：本题考查抛物线与直线的位置关系，注意直线的设法，是本题的解题的技巧，避免直线方程的讨论；如果设为y=kx-4k，往往容易疏忽直线的斜率不存在的情况．值得同学借鉴，考查计算能力．