Question

（文科做②；理科从①②两小题中任意选作一题）
①（坐标系与参数方程选做题）在极坐标系中，直线θ=

π

6

(ρ∈R)截圆ρ=2cos(θ-

π

6

)的弦长是

2

．
②（不等式选做题）关于x的不等式|x-a|-|x-1|≤1在R上恒成立（a为常数），则实数a的取值范围是

[0，2]

．

Answer 1

分析：①由题意，可将极坐标方程转化为直角坐标系下的普通方程，研究圆心到直线的距离，确定出弦长即可得到答案
②由题意，可先由绝对值的几何意义求出|x-a|-|x-1|的最值，由于不等式在R上恒成立，故令所得的最值小于等于1，解此不等式即可求出实数a的取值范围

解答：解：①直线θ=

π

6

(ρ∈R)的直角坐标系下的方程是x-

3

y=0，
又ρ=2cos(θ-

π

6

)=2（cosθcos

π

6

+sinθsin

π

6

）=

3

cosθ+sinθ，
所以ρ²=

3

ρcosθ+ρsinθ，即x²+y²=

3

x+y，整理得（x-

3

2

）²+（y-

1

2

）²=1，即以（

3

2

，

1

2

）为圆心，以1为半径的圆
圆心到直线的距离是

| 1 2 × 3 - 3 2 |

1+3

=0，即直线过圆心
故弦长为2
②由绝对值的意义知，|x-a|-|x-1|≤|x-a-（x-1）|=|1-a|，
又由已知知关于x的不等式|x-a|-|x-1|≤1在R上恒成立（a为常数），故有|1-a|≤1，解得0≤a≤2
即实数a的取值范围是[0，2]
故答案为①2；②[0，2]

点评：本题考查简单曲线的极坐标方程及绝对值不等式绝对值的几何意义，第一小题解题的关键是化极坐标方程为普通方程，第二题是理解绝对值的几何意义，本题考查了转化的数形结合的思想，属于经典题型．