Question

（2013•宁德模拟）已知椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0），动直线l：y=kx+m与椭圆C相交于A，B两点，且∠AOB=90°（其中O坐标原点）．
（Ⅰ）若椭圆过点（2，0），且右焦点与短轴两端点围成等边三角形．
（ⅰ）求椭圆C的方程；
（ⅱ）求点O到直线l的距离．
（Ⅱ）探究是否存在定圆与直线l总相切？若存在写出定圆方程（不必写过程），若不存在，说明理由．

Answer 1

分析：（Ⅰ）（ⅰ）由椭圆过点（2，0）可知a=2，由右焦点与短轴两端点围成等边三角形得到c=

3

b，结合a²=b²+c²可求a，b，则椭圆方程可求；
（ⅱ）把直线方程和椭圆方程联立，化为关于x的一元二次方程后利用根与系数关系得到A，B两点的横坐标的和与积，把∠AOB=90°转化为

OA

•

OB

=0，代入坐标后结合根与系数关系可得直线的斜率和截距的关系，写出点O到直线l的距离把斜率和截距的关系整体代入后可求距离；
（Ⅱ）由（Ⅰ）中点O到直线l的距离的平方等于(

2 5

5

)2=

4

5

=

4×1

4+1

可知，存在以原点为圆心，以

a2b2 a2+b2

为半径的圆与直线l总相切．

解答：解：（Ⅰ）（ⅰ）依题意得：

a=2 c= 3 b a2=b2+c2

，解得a=2，b=1．
所以所求椭圆的方程为

x2

4

+y2=1；
（ⅱ）联立

y=kx+m x2 4 +y2=1

，得（1+4k²）x²+8kmx+4m²-4=0
设A（x₁，y₁），（x₂，y₂），
则

△=(8km)2-4(4k2+1)(4m2-4)＞0 x1+x2=- 8km 4k2+1 x1x2= 4m2-4 4k2+1

，
∵∠AOB=90°，即

OA

•

OB

=0，
∴

OA

•

OB

=x1x2+y1y2=x1x2+(kx1+m)(kx2+m)
=(1+k2)x1x2+km(x1+x2)+m2
=

(1+k2)(4m2-4)

4k2+1

-

8k2m2

4k2+1

+m2
=

5m2-4-4k2

4k2+1

=0．
得m2=

4(1+k2)

5

．
∴原点O到直线l的距离为d=

|m|

1+k2

=

2 5

5

．
（Ⅱ）存在满足条件的圆，其方程为x2+y2=

a2b2

a2+b2

．

点评：本题考查了椭圆的标准方程，考查了点到直线的距离公式，考查了直线与圆锥曲线的关系，训练了一元二次方程中根与系数关系的应用，解答的关键是整体代入运算，考查了学生的计算能力，是中档题．