Question

（文）观察下面的数阵，回答下列问题，
（1）第10行所有数的和是多少？
（2）记各行最右端的数的倒数构成数列{a_n}，{a_n}的前n项和为s_n． 证明：s_n＜

7

4

．

Answer 1

分析：（1）由题意可得，第n行的最后一个数n²，且该行有2n-1个数，依照此规律，结合等差数列的求和公式即可求解
（2）由a_n=

1

n2

＜

1

n2-1

=

1

2

(

1

n-1

-

1

n+1

)（n＞1），利用裂项求和及放缩法即可证明

解答：解：（1）由题意可得，第n行的最后一个数n²，且该行有2n-1个数
∴第10行的最后一个数是100，且该行有19个数
∴第10行的所有的数的和是：82+83+…+100=1729
（2）∵a_n=

1

n2

＜

1

n2-1

=

1

2

(

1

n-1

-

1

n+1

)（n＞1）
∴s_n=1+

1

22

+

1

32

+…+

1

n2

＜1+

1

2

(1-

1

3

+

1

2

-

1

4

+…+

1

n-1

-

1

n+1

)
=1+

1

2

(1+

1

2

-

1

n

-

1

n+1

)＜

7

4

点评：本题主要考查了数列的通项与求和，解题的关键是要观察出已知数阵的规律与特点